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📐 선형대수 핵심 공식 정리

1장~현재 범위 · 우선순위별 정리 · 암기용

🔥 0. 제일 먼저 — 핵심 10개

이 10개는 반드시 기억하세요!

$Ax = b$
$Ax = 0$ (동차식)
$A \to \text{echelon form} \to \text{rref}(A)$
$\operatorname{rank}(A) = \text{pivot 수}$
$\text{nullity}(A) = n - \operatorname{rank}(A)$
$\dim N(A) = n - r$
$\dim C(A) = r$
$A = CR$
$A = LU$
$\det\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} = ad - bc$

1. 행렬과 선형시스템 기본 A급

1-1. 선형시스템 표현

$$Ax = b$$

$A$: 계수행렬, $x$: 미지수 벡터, $b$: 상수 벡터

동차식: $Ax = 0$

1-2. 열의 관점 ⭐

$$Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n$$

→ $Ax$는 $A$의 열벡터들의 선형결합

→ $Ax = b$는 "$b$가 $A$의 열들의 선형결합으로 표현되는가?"를 묻는 것

2. 가우스 소거 A급

2-1. 세 가지 행 연산 (ERO)

두 행 교환
한 행에 $c \ne 0$ 상수배
한 행에 다른 행의 배를 더하기

2-2. Echelon Form 조건

0이 아닌 행은 0행 위에
각 행의 leading entry는 아래로 갈수록 오른쪽
피벗 아래는 0

2-3. RREF 조건

Echelon form 조건 +

각 피벗은 1
피벗 열의 나머지 성분은 모두 0

2-4. Pivot / Free Variable

pivot column ↔ pivot variable
non-pivot column ↔ free variable

→ 이 구분이 해의 구조를 결정합니다

3. Rank · Nullity · Pivot A급

3-1. Rank

$$r = \operatorname{rank}(A) = \text{pivot 수}$$

3-2. Nullity

$$\text{nullity}(A) = n - r$$

자유변수 개수 = 열 개수 − pivot 개수

3-3. Null Space 차원

$$\dim N(A) = n - r$$

3-4. Column / Row Space 차원

$$\dim C(A) = r$$

$$\dim C(A^T) = r$$

row space 차원도 rank와 동일

3-6. Rank-Nullity Theorem ⭐

$$\boxed{n = \operatorname{rank}(A) + \dim N(A)}$$

→ 반드시 외우세요!

4. 해의 존재 · 유일성 판정 A급

4-1. $Ax = 0$ (동차식)

항상 $x = 0$ 해 존재 (trivial solution)
$n > r$ → 자유변수 있음 → nonzero solution 존재
$n = r$ → 자유변수 없음 → only trivial solution

$n > m \Rightarrow$ rank $\le m < n$ → 항상 nonzero solution!

4-2. $Ax = b$ 해 존재 조건

$$b \in \operatorname{Col}(A)$$

→ $b$가 $A$의 열공간에 있어야 해가 존재

4-3. 유일해 조건

해 존재 + 자유변수 없음 ($n = r$)
정사각행렬이면: $r = n$ → 유일해

5. 역행렬 (Inverse) A급

5-1. 정의

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I$$

5-2. 2×2 역행렬 공식 ⭐

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}$$

단, $\det A = ad - bc \ne 0$

5-3. Invertible Matrix Theorem ⭐⭐

정사각행렬 $A$에 대해 다음은 모두 동치:

$A$ is invertible ($A^{-1}$ 존재)
$\det(A) \ne 0$
$\operatorname{rank}(A) = n$
$\text{rref}(A) = I$
$Ax = 0$ has only trivial solution
$Ax = b$ has a unique solution for every $b$

6. Determinant A급 ~ B급

6-1. 2×2

$$\det\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} = ad - bc$$

6-2. 3×3

$$\det\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$$

또는 cofactor expansion 사용

6-3. 삼각행렬

$$\det(A) = \text{대각원소들의 곱}$$

상삼각 · 하삼각 모두 해당

6-4. 행 연산 → det 변화

두 행 교환 → det 부호 바뀜
한 행에 $c$배 → det도 $c$배
한 행에 다른 행의 배 더함 → det 변화 없음

6-5. 곱의 det

$$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$

6-6 · 6-7. 역행렬 / 전치

$$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$$

$$\det(A^T) = \det(A)$$

7. 전치 (Transpose) B급

기본 성질

$(A^T)^T = A$
$(A+B)^T = A^T + B^T$
$(cA)^T = cA^T$

곱의 전치 ⭐

$$(AB)^T = B^T A^T$$

→ 순서가 뒤집힌다!

8. LU 분해 A급

8-1. 기본 형태

$$A = LU$$

$L$: lower triangular (하삼각)
$U$: upper triangular (상삼각)

8-2. 의미 ⭐

$U$는 소거 결과, $L$은 소거 기록

8-3. PLU

피벗 교환이 필요하면:

$$PA = LU$$

9. CR 분해 A급

9-1. 기본 형태

$$A = CR$$

$C$: $A$의 independent columns
$R$: 각 열이 $C$의 열들로 표현되는 계수

9-2. 구조

$A = [W \ \ H]$ 이면 $R = [I \ \ F]$

$$H = WF$$

dependent columns = independent columns $\times F$

9-3. 핵심 해석 ⭐

$C$는 basis 열들, $R$은 좌표 행렬

10. Null Space A급

10-1. 정의

$$N(A) = \{x : Ax = 0\}$$

10-2. 일반해 표현

$$x = s_1 v_1 + \cdots + s_k v_k$$

$v_1, \dots, v_k$는 null space의 basis

10-3. 차원

$$\dim N(A) = \text{free variable 수} = n - r$$

10-4. Special Solutions

자유변수 하나를 1, 나머지를 0으로 두면

→ special solution을 얻고, 이들이 null space의 basis

11. 열공간 · 행공간 A급

11-1. Column Space

$$C(A) = \operatorname{span}\{\text{columns of } A\}$$

11-2. Pivot Columns ⭐

pivot 위치는 rref에서 찾고,
basis 열은 원래 A에서 뽑는다!

11-3. Row Space

행공간의 basis = echelon form의 nonzero rows

12. 직교 (Orthogonality) 기본 C급

기본

내적: $x \cdot y = x^T y$
직교: $x^T y = 0$

Fundamental Relation

$$N(A) \perp C(A^T)$$

null space는 row space와 직교 — 나중에 매우 중요!

13. 블록 소거 C급

블록 소거 공식

$$P_r A P_c = \begin{bmatrix} W & H \\ J & K \end{bmatrix}$$

$W$는 $r \times r$ 가역행렬일 때:

$F = W^{-1}H$
$K = JW^{-1}H$

최종:

$$\begin{bmatrix} W & H \\ J & K \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

14. 정사각행렬 동치 조건 (세트 암기) A급

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 에 대해:

$$\det(A) \ne 0 \iff A^{-1} \text{ exists} \iff \operatorname{rank}(A) = n \iff \text{rref}(A) = I$$

$$\iff Ax=0 \text{ has only } x=0 \iff Ax=b \text{ has unique solution for all } b$$

💡 암기 묶음 (세트로 외우기)

묶음 1: Rank-Nullity

$r = \text{pivot 수}$
$\dim N(A) = n - r$
$n = r + \dim N(A)$

묶음 2: Invertible

$A^{-1}$ exists $\iff \det(A) \ne 0$

$\iff r = n \iff \text{rref}(A) = I$

묶음 3: CR 분해

$A = CR$
$C$ = 원래 $A$의 pivot columns
$R$ = 계수 행렬
$H = WF$, $F = W^{-1}H$

묶음 4: Determinant

$\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc$
$\det(AB) = \det(A)\det(B)$
$\det(A^T) = \det(A)$
$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

📋 최종 치트시트 — 최소한 이것만은!

A4 한 장 압축본

$Ax = x_1 a_1 + \cdots + x_n a_n$ → 열의 선형결합
$r = \operatorname{rank}(A) = \text{pivot 수}$
$\dim N(A) = n - r$
$n = r + \dim N(A)$ → Rank-Nullity Theorem
$A = CR$ → $C$는 basis 열, $R$은 좌표 행렬
$A = LU$ → $U$는 소거 결과, $L$은 소거 기록
$\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad - bc$
$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$
$\det(A) \ne 0 \iff A^{-1}$ exists $\iff \text{rref}(A) = I$
pivot 위치는 rref에서 찾고, basis 열은 원래 A에서 뽑는다

🎯 암기 우선순위 가이드

A급 무조건 외우기

$Ax = x_1a_1 + \cdots + x_na_n$
$\operatorname{rank}(A) = \text{pivot 수}$
$\dim N(A) = n - r$
$n = r + \dim N(A)$
$A = CR$
$A = LU$
$\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc$
2×2 역행렬 공식
정사각행렬의 가역 동치조건
pivot 위치는 rref / basis 열은 원래 A

B급 매우 중요

$\det(AB) = \det(A)\det(B)$
$(AB)^T = B^T A^T$
$\det(A^T) = \det(A)$
삼각행렬 det = 대각곱
행연산이 det에 미치는 영향
$H = WF$
$F = W^{-1}H$

C급 익숙해지기

블록 소거 공식
$K = JW^{-1}H$
$PA = LU$
$N(A) \perp C(A^T)$

💡 암기 팁

그냥 줄줄 외우면 오래 안 갑니다. 묶음으로 외우세요!

계산용 공식 — 직접 계산에 쓰는 것 (det, inverse, rank 계산)
구조 이해 공식 — 왜 그런지 이해하는 것 (열의 관점, CR, LU)
판정 공식 — 조건을 체크하는 것 (가역 동치, 해의 존재/유일성)

선형대수 1장~현재 범위 · 공식 정리