Physical Test – Second Difference Matrices

📐 수학 설명 — Second Difference Matrices

1. Second Difference Matrix란?

선형대수학에서 Second Difference Matrix는 이산 2차 미분 연산자를 행렬로 표현한 것입니다. 연속 함수의 2차 도함수 f″(x)를 이산 점(discrete points)에서 근사할 때 나타납니다.

중심 차분(central difference)으로 근사하면:

f″(xᵢ) \approx f(xᵢ₋₁) - 2f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁)

계수 [1, −2, 1]이 행렬의 각 행을 구성합니다. 경계 조건(boundary condition)에 따라 세 가지 행렬이 만들어집니다.

2. 세 가지 행렬 K, T, B (3×3 기준)

K — Fixed-Fixed (양쪽 고정)

┌ 2 -1 0 ┐ K = │ -1 2 -1 │ └ 0 -1 2 ┘

양 끝이 벽에 고정된 스프링-질량 시스템에 해당합니다. 모든 대각 원소가 2입니다.

T — Free-Fixed (한쪽 자유, 한쪽 고정)

┌ 1 -1 0 ┐ T = │ -1 2 -1 │ └ 0 -1 2 ┘

왼쪽 끝이 자유롭고 오른쪽이 고정된 경우입니다. 첫 번째 대각 원소가 1입니다.

B — Free-Free (양쪽 자유)

┌ 1 -1 0 ┐ B = │ -1 2 -1 │ └ 0 -1 1 ┘

양 끝이 모두 자유로운 경우입니다. 첫 번째와 마지막 대각 원소가 1입니다. B는 특이 행렬(singular matrix)로, 고유값 0을 가집니다.

3. 고유값 (Eigenvalues)

각 행렬의 고유값은 경계 조건에 따라 달라집니다. n×n 행렬에 대해:

K: λₖ = 2 - 2 cos(kπ / (n+1)), k = 1, 2, \dots, n T: λₖ = 2 - 2 cos((2k-1)π / (2n+1)), k = 1, 2, \dots, n B: λₖ = 2 - 2 cos(kπ / n), k = 0, 1, \dots, n-1

3×3 경우 구체적인 값:

K: λ₁ = 2−√2 ≈ 0.586, λ₂ = 2, λ₃ = 2+√2 ≈ 3.414
T: λ₁ ≈ 0.198, λ₂ ≈ 1.555, λ₃ ≈ 3.247
B: λ₁ = 0, λ₂ = 1, λ₃ = 3

4. 고유값을 회전 각도로 사용하는 원리

이 데모에서는 3×3 행렬의 3개 고유값 (λ₁, λ₂, λ₃)을 X, Y, Z 축의 회전 각도(라디안)로 매핑합니다.

Rx = λ₁ rad, Ry = λ₂ rad, Rz = λ₃ rad

행렬마다 고유값이 다르므로 큐브가 서로 다른 각도로 회전합니다. 특히 B 행렬은 λ₁ = 0 이므로 X축 회전이 없는 것을 관찰할 수 있습니다.

💻 코드 설명

1. Three.js 장면 구성

Three.js로 3D 장면을 만듭니다. Scene, Camera, Renderer를 세팅하고 정육면체(BoxGeometry)를 추가합니다.

const scene    = new THREE.Scene();
const camera   = new THREE.PerspectiveCamera(50, w / h, 0.1, 100);
const renderer = new THREE.WebGLRenderer({ antialias: true, alpha: true });

// 정육면체 생성
const geometry = new THREE.BoxGeometry(2, 2, 2);
const material = new THREE.MeshPhongMaterial({
  color: 0x58a6ff,
  transparent: true,
  opacity: 0.85
});
const cube = new THREE.Mesh(geometry, material);
scene.add(cube);

// 와이어프레임 (모서리 선)
const edges    = new THREE.EdgesGeometry(geometry);
const lineMat  = new THREE.LineBasicMaterial({ color: 0xffffff });
const wireframe = new THREE.LineSegments(edges, lineMat);
cube.add(wireframe);

2. 행렬 정의 및 고유값 계산

Second Difference Matrices K, T, B를 2차원 배열로 정의합니다.

const matrices = {
  K: [[2,-1,0], [-1,2,-1], [0,-1,2]],
  T: [[1,-1,0], [-1,2,-1], [0,-1,2]],
  B: [[1,-1,0], [-1,2,-1], [0,-1,1]]
};

고유값은 해석적 공식으로 구합니다:

function eigenvalues(name) {
  const n = 3;
  if (name === 'K')
    return [1,2,3].map(k => 2 - 2*Math.cos(k*Math.PI/(n+1)));
  if (name === 'T')
    return [1,2,3].map(k => 2 - 2*Math.cos((2*k-1)*Math.PI/(2*n+1)));
  // B
  return [0,1,2].map(k => 2 - 2*Math.cos(k*Math.PI/n));
}

3. 회전 애니메이션

고유값을 목표 회전 각도로 설정하고, 매 프레임 현재 각도를 lerp(선형 보간)로 부드럽게 이동시킵니다.

// 목표 각도 설정
const ev = eigenvalues(name);   // [λ₁, λ₂, λ₃]
targetRotation = { x: ev[0], y: ev[1], z: ev[2] };

// 매 프레임 보간 (animate 루프 안)
cube.rotation.x += (targetRotation.x - cube.rotation.x) * 0.05;
cube.rotation.y += (targetRotation.y - cube.rotation.y) * 0.05;
cube.rotation.z += (targetRotation.z - cube.rotation.z) * 0.05;

0.05는 보간 속도입니다. 값이 작을수록 천천히, 클수록 빠르게 회전합니다. Reset 버튼은 목표 각도를 (0, 0, 0)으로 돌려 큐브를 원래 위치로 복원합니다.

4. 핵심 포인트 정리

K, T, B 행렬은 경계 조건에 따라 달라지는 이산 2차 미분 연산자입니다.
각 행렬의 고유값은 물리적 시스템의 고유 진동수(natural frequency)에 대응합니다.
이 데모에서는 고유값을 3D 회전 각도로 매핑하여 시각적으로 차이를 확인합니다.
B 행렬의 고유값 0은 강체 운동(rigid body motion)을 나타냅니다 — X축 회전 없음.

Second Difference Matrices

현재 행렬

고유값 → 회전 각도